多工廠獨占問題解

原問題：市場需求 Q = 180 - P

Ca = 40Qa，Cb = Qb，求利潤極大產量

乍看很簡單的一題可是解不出來，我懷疑題目寫錯了

按照題目給的東西去解的話如下：



maxΠ = [180 - (Qa + Qb)](Qa + Qb) - 40Qa -Qb

對Qa偏微分，180 - 2Qa - 2Qb - 40 =0

Qa = 70 - Qb ─(1)

對Qb偏微分，180 - 2Qa - 2Qb - 1 =0

Qb = 89.5 - Qa，將之帶入 (1) 式



敏銳的人應該已經發現了

把Qb = 89.5 - Qa 套入 Qa = 70 - Qb 求 Qa 是不可能的

兩項的 Qa 會相減而消滅無法計算下去



會造成這樣的原因我發現在於題目給的 Cb = Qb

給的太簡單了很奇怪，於是我加了個平方變成 Cb = Qb^2

重新計算如下：



maxΠ = [180 - (Qa + Qb)](Qa + Qb) - 40Qa -Qb^2

對Qa偏微分，180 - 2Qa - 2Qb - 40 =0

Qa = 70 - Qb ─(1)

對Qb偏微分，180 - 2Qa - 2Qb - 2Qb =0

Qb = 45 - 0.5Qa，將之帶入 (1) 式



這樣明顯合理多了

Qb = 45 - 0.5Qa 帶入 (1) 不會減光 Qa

可得 Qa* = 50，Qb* =20，Q* = 70，P* = 110

解出來的數字也非常的漂亮

所以我想應該是題目漏打了平方吧，以前寫題目也碰過

就是這樣啦我真聰明～♪